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上篇文章介绍了Muon等新兴深度学习优化器背后的原理，即约束参数矩阵的诱导范数下得到新的更新方向。 在Muon对参数更新方向$-\boldsymbol{U}\boldsymbol{V}^\top$的计算中用到了Newton-Schulz迭代方法，本质上是在寻找这样一个多项式函数 $$ f(x)=ax+bx^3+cx^5+\ldots $$ 使其满足对任意$x\in(0, 1]$，对$x$应用多次$f(\cdot)$，都能收敛到1附近。这里我们尝试设计一个能work的参数组合。 我的一个简单的想法是，设计一个多项式函数，使$x=1$是它的一个吸引不动点： 定义1（不动点）当$x_0$被函数$f(\cdot)$映射到自身，即$f(x_0)=x_0$时，称$x_0$是函数$f(\cdot)$的一个不动点。 定义2（吸引不动点）$f$的吸引不动点是$f$的不动点$x_0$使得，对在足够接近$x_0$的定义域中的任何$x$值而言，迭代函数序列$x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),\ldots$收敛于$x_0$。 要令$x=1$是$f(x)$的一个吸引不动点，要满足如下的必要条件： $f(1)=1$ $|f'(1)|<1$ 使用这两个条件是无法确定具体的参数值$a,b,\ldots$的，但是对于三阶（参数包括$a,b$两个）或者五阶（参数包括$a,b,c$三个）的Newton-Schulz迭代，可以大大缩小搜索的空间。下面展开看下。 三阶迭代 先讨论三阶迭代的形式 $$ f(x)=ax+bx^3 $$ 代入上面的两个必要条件： $$ \begin{split} f(1)=a+b = 1\\ -1 < f'(1)=a+3b < 1\\ \end{split} $$ 根据第一个条件，可以把$b$用$1-a$重参数化，然后就有可行的条件 $$ 1 < a < 2 $$ 我们记五次迭代后的函数$\phi(x)=f(f(f(f(f(x)))))$，可视化看一下不同$a$取值下对应的情况（理想情况下，对于$(0,1]$区间内的$x$，曲线要尽可能接近$y=1$） 三阶迭代下，a取不同取值时对应的φ(x) 注意到在$a$接近1的时候，$\phi(x)$收敛到1附近的邻域是比较窄的，随着$a\to 2$，收敛到1附近的「邻域」范围逐渐拓宽，但在$a=2$附近，曲线开始出现一定的抖动。对于优化器而言，这样的局部近似的方差是可以容忍的，因此我们可以选取一个比较接近2的值作为$a$的参数，例如$a=1.99,b=-0.99$。 作为对比，在Bernstein & Newhouse 2024.中，作者给出的参数是$a=3/2,b=-1/2$。可以在下图中对照两种设定下的$\phi(x)$. 两种φ(x)对比 可以看到Bernstein给出的参数虽然更平滑地收敛于1，但是对于在0附近的初始$x$，普遍无法收敛到1。也就是说对于较小的奇异值对应的$\boldsymbol{u}_i, \boldsymbol{v}_i$，倾向于在更新中被忽略。 在$x=0$附近$\phi(x)$能否快速接近1，主要取决于参数$a$的大小，这是因为$\phi'(0)=a^5$。所以应该在尽可能保证$\phi(x)\approx 1,\forall x\in(0,1]$的同时，让$a$尽可能大。 五阶迭代 现在来考虑五阶迭代的形式 $$ f(x)=ax+bx^3+cx^5 $$ 代入上面的两个必要条件： $$ \begin{split} f(1)=a+b+c = 1\\ -1 < f'(1)=a+3b+5c < 1\\ \end{split} $$ ...

在深度学习中最常用的优化方法是梯度下降方法及其变体。在过去很长一段时间中，Adam优化器是NLP社区的默认选择，在ViT出现之后，CV方面的工作也逐渐开始使用Adam和Adam的变体（在ViT之前，一种常见的观点是Adam不适用于Vision任务）。 最近Muon优化器在Kimi的新工作带动下又火了一把，相较于Adam优化器需要同时维护一阶、二阶矩估计量，Muon只需要维护一份梯度的动量估计，因此在大规模训练中有很大优势。最近笔者顺着Muon的reference看了Jeremy Bernstein在优化的一些文章，觉得很有意思，因此写这篇文章梳理一下这一系列工作的部分精要。本文的核心论点是：使用诱导范数来约束梯度更新，可以推导出最近的一些新出现的优化方法，这也可能是未来深度学习优化的一个有潜力的探索方向。 梯度下降（Recap） 当前深度学习优化算法的基石是梯度下降。之前笔者写过一篇拙文（自然梯度（二）：黎曼距离下的最速下降）整理过梯度下降的推导，核心的结论是：当我们假设参数空间是一个欧几里得空间、参数的距离可以用欧几里得距离来衡量时，我们在某个点约束$\|\Delta\theta\|_2\le\epsilon(\epsilon>0)$时，$\Delta\theta$取梯度的反方向时可以让目标函数下降最多（具体的证明请参阅上述引文）。 使用梯度下降最大的问题是，它实际上忽略了模型的结构。换句话说，梯度下降相当于将模型所有参数展平为1维向量，并且用向量2范数来衡量每次更新的「步长」。这种抽象是实用的，但是也存在一定的问题。两组参数有可能在欧几里得空间中距离很近，但是诱导的模型输出空间距离很远。造成的结果就是更新的方向实际上不是目标函数下降最快的方向。 这个问题要如何解决呢？在自然梯度（二）：黎曼距离下的最速下降中，我们介绍了自然梯度方法，即使用Fisher信息矩阵的逆作为梯度的pre-conditioner来矫正梯度下降的方向，从原理上是使用参数更新前后引导的概率分布的KL散度作为每次更新的步长约束。但是对于常见的深度神经网络来说，这样做仍然是不切实际的，因为FIM是一个$N\times N$的大矩阵（其中$N$是参数量），对于这么大的矩阵存储或求逆都是很难做到的。 诱导范数作为步长约束 是否有一种更「廉价」的方法，可以考虑模型的参数结构，同时将参数的变化对于输出的影响作为约束呢？ 幸运的是，对于当下最流行的神经网络（e.g., Transformer）而言，模型往往可以拆解为很多小模块，其中最常见的是Linear模块（线性映射，这里忽略bias term） $$ f(\boldsymbol{x};\boldsymbol{W})=\boldsymbol{Wx},\ \boldsymbol{W}\in\mathbb{R}^{n\times m},\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^{m}\\ $$ 在标准的Transformer中，Attention、FFN、LM分类器都是由Linear模块组成的，Embedding从数学原理上也是输入为one-hot encoding的线性映射。假设现在对于某个Linear模块的参数$\boldsymbol{W}$做$\Delta\boldsymbol{W}$的更新（$\boldsymbol{W}'\leftarrow \boldsymbol{W}+\Delta\boldsymbol{W}$），我们需要衡量这个更新对于最终输出的影响是多少（从而可以约束这个影响）。由于神经网络比较复杂，衡量$\Delta\boldsymbol{W}$对于最终目标函数的影响是相对繁琐的，但我们可以退而求其次，衡量$\Delta\boldsymbol{W}$对于这个Linear模块的输出$\boldsymbol{Wx}$的影响。 考虑线性模块的输入与输出空间的距离都使用欧几里得范数$\|\cdot\|_{\ell_2}$衡量，那么这个约束可以通过如下不等式实现 $$ \|\Delta\boldsymbol{W}\boldsymbol{x}\|_{\ell_2} \le {\color[rgb]{0, 0.5, 0.8}{\|\Delta\boldsymbol{W}\|_{\ell_2\to\ell_2}}}\|\boldsymbol{x}\|_{\ell_2} $$ 这里的${\color[rgb]{0, 0.5, 0.8}{\|\Delta\boldsymbol{W}\|_{\ell_2\to\ell_2}}}$是矩阵2范数。这个不等式告诉我们，如果约束了参数更新量的谱范数（不等式右侧），也就约束了更新前后这个线性模块输出的变化量。 假设现在需要优化的神经网络是由一系列的线性模块堆叠组成（e.g., MLP），我们可以参照梯度下降的推导构造如下的更新1 $$ \underset{\Delta\boldsymbol{W}_1,\ldots,\Delta\boldsymbol{W}_L}{\text{arg min}}\left[ \sum_{l=1}^L {\langle \boldsymbol{G}_l, \Delta\boldsymbol{W}_l \rangle}_F + \frac{\lambda}{2}\max_{l=1}^L{\color[rgb]{0, 0.5, 0.8}{\|\Delta\boldsymbol{W}_l\|^2_{\ell_2\to\ell_2}}} \right]\\ $$ 这里$\boldsymbol{G}_l$表示$\boldsymbol{W}_l$对应的梯度矩阵（布局与原参数矩阵相同），${\langle \cdot, \cdot \rangle}_F$表示Frobenius内积（对矩阵而言，逐元素相乘求和）。这里之所以使用$\max_{l=1}^L$（而不是直接求和），是因为我们引入这个约束时希望目标函数在$\Delta\boldsymbol{W}_l$变化下，能够保持平滑的性质2，因此需要bound所有参数矩阵更新量的谱范数的最大值。 我们来逐步推导这个最小值成立时的$\Delta\boldsymbol{W}_1,\ldots,\Delta\boldsymbol{W}_L$取值3。为了方便，把每个$\Delta\boldsymbol{W}_l$拆解成大小和方向两部分：$\Delta\boldsymbol{W}_l=c_l\boldsymbol{T}_l(c_l\triangleq\|\Delta\boldsymbol{W}_l\|_{\ell_2\to\ell_2})$ （为了可读性，下面的$\|\cdots\|$均表示谱范数$\|\cdot\|_{\ell_2\to\ell_2}$） $$ \begin{align} &\underset{\Delta\boldsymbol{W}_1,\ldots,\Delta\boldsymbol{W}_L}{\text{min}}\left[ \sum_{l=1}^L {\langle \boldsymbol{G}_l, \Delta\boldsymbol{W}_l \rangle}_F + \frac{\lambda}{2}\max_{l=1}^L\|\Delta\boldsymbol{W}_l\|^2 \right]\\ &=\underset{c_1,\ldots,c_L\ge 0}{\text{min}}\left[ \sum_{l=1}^L c_l\min_{\|\boldsymbol{T}_l\|=1}{\langle \boldsymbol{G}_l, \boldsymbol{T}_l \rangle}_F + \frac{\lambda}{2}\max_{l=1}^Lc_l^2 \right]\\ &=\underset{c_1,\ldots,c_L\ge 0}{\text{min}}\left[ -\sum_{l=1}^L c_l\max_{\|\boldsymbol{T}_l\|=1}{\langle \boldsymbol{G}_l, \boldsymbol{T}_l \rangle}_F + \frac{\lambda}{2}\max_{l=1}^Lc_l^2 \right]\\ &=\underset{c_1,\ldots,c_L\ge 0}{\text{min}}\left[ -\sum_{l=1}^L c_l \|\boldsymbol{G}_l\|_* + \frac{\lambda}{2}\max_{l=1}^Lc_l^2 \right]\quad\triangleright\|\cdot\|_*\text{表示核范数}\\ &=\underset{\eta\ge 0}{\text{min}}\left[ -\sum_{l=1}^L \eta\|\boldsymbol{G}_l\|_* + \frac{\lambda}{2}\max_{l=1}^L \eta^2 \right]\tag{1}\\ \end{align} $$ ...

最近在阅读Muon is Scalable for LLM Training这篇文章的时候注意到他们使用无权重衰减（weight decay）版本的Muon优化LLM的时候，优化器的收敛优势会随着训练过程逐渐消失，又看到@小明同学在评论区提到的一个细节，很多开源的LLM在技术报告中都提到了使用0.1作为权重衰减的系数，觉得是个比较有意思的发现。结合Kimi的文章中关于bf16的简单陈述，笔者在本文中稍微展开讲下，权重衰减对于LLM的低精度训练中有什么作用。 首先把结论放在前面：除了一般认知中的正则化作用，权重衰减也可能降低精度损失的风险——对于计算机的浮点数而言，绝对值越大，精度越低。对于低精度/混合精度训练而言，使用权重衰减可以控制参数的绝对值范围，从而保证模型参数不落入低精度的数值区间。 浮点数的存储与精度 上述结论主要与浮点数在计算机内的存储形式有关。学过计算机的一些基本课程的读者可能有印象，浮点数的存储是二进制的形式，分为符号位、指数位和尾数位三段。深度学习中常见的浮点数协议（fp32、fp16、bf16、tf32）的区别在于指数位和尾数位的比特数量不同。由于浮点数是一个「指数」的形式，因此它在实数空间的分布是不均匀的。 这里我们考虑规范数的情形（指数位非全0），做一点分析。假设符号位、指数位、尾数位（mantissa）的二进制编码分别是$S$、$E$、$M$，那么对应的浮点数为： $$ \text{value}=(-1)^S\times 1.M\times 2^{E-\text{bias}} $$ 在单精度fp32标准中，$\text{bias}$取${01111111}_{2}=127_{10}$ . fp32浮点数的一个例子 例如在图中的例子中，$S=0$，$E=\underbrace{00\cdots0}_{7\ 0's}1$，$M=\underbrace{00\cdots0}_{22\ 0's}1$，相应的值为 $$ \begin{align} &{-1}^0\times 1.\underbrace{00\cdots0}_{22\ 0's}1_2\times 2^{00000001_2-{01111111}_{2}}\\ &\approx [1.175494490952134\times 10^{-38}]_{10} \end{align} $$ 现在我们来考虑不同的数值范围内的浮点数精度。对于区间范围$[2^{x}, 2^{x+1}],\forall -126\le x\le127$（这里的x已经是经过-bias之后得到的最终指数），我们希望在给定任意浮点数$y\in[2^{x}, 2^{x+1}]$的基础上增加一个最小量$\varepsilon$（即区间内两个浮点数的最小间隔），这个增加的过程是通过操纵二进制编码实现的，那么最小间隔只能是通过在$y$的尾数部分加上 $$ 0.\underbrace{00\cdots0}_{22\ 0's}1 $$ 来实现，对应的最小间隔是 $$ \begin{align} \varepsilon &= 0.\underbrace{00\cdots0}_{22\text{ 0's}}1_2\times 2^{x}\\ &=2^{-23}\times2^{x}=2^{x-23}\\ \end{align} $$ 如果你将上面的公式带入不同的指数位，可以验证与Wikipedia中给出的这张表的Gap是吻合的： 不同指数位下的最小精度，来源：Wikipedia 这个计算可以拓展到其他的精度格式： 对于半精度格式fp16而言，其尾数位有10位，对应的最小间隔是$2^{x-10}$； 对于半精度格式bf16而言，其尾数位有7位，对应的最小间隔是$2^{x-7}$； 从这里也可以看到，bf16相比fp16虽然拓宽了表示范围，但是减少了精度（同样数值范围内的最小间隔更宽了）。 从这里我们得到了一个结论：计算机存储的浮点数之间的最小间隔随着浮点数绝对值数值增加，指数级地增大，换言之，浮点数（绝对值）数值越大，精度越低。并且这个问题对于fp16或bf16格式的浮点数，问题要更加显著。 这个结论的另一个引申的问题是舍入误差，假如一个较大的浮点数和一个较小的浮点数相加，由于浮点数的加法（减法过程相当于取补码后相加，结论是类似的）过程需要先将两个数的指数位对齐，因此绝对值较小的数字的尾数的最后几位数字可能会在加法中丢失。这里我们举一个极端的例子来说明。 假设浮点数存储为fp32格式（8位指数、23位尾数）。 $$ \begin{align} x=(-1)^0\times 1.0_2\times 2^{-1}\\ y=(-1)^0\times 1.0_2\times 2^{-25}\\ \end{align} $$ ...

最近Deepseek比较出圈，连带着里面用到的MLA也被讨论得更多了。MLA无疑是一个非常出色的attention改进，但是由于它的KV cache设计，不能很好地兼容RoPE，因此作者们使用了decoupled RoPE这样的「补丁」来引入位置关系，这无疑也增加了实现的复杂度。 最近，修改注意力KV Cache这一线工作又增添了TPA这个新成员，笔者觉得这篇文章比较有趣，因此希望写一篇简短的导读。之所以叫「导读」，是因为本文不打算太深入文章的formulation和实验，而是从笔者自己的视角出发介绍文章的一些重点贡献。。 MHA的拆解 最标准的多头注意力（Vaswani的版本），大致可以拆解成3个步骤（这里默认讨论自注意力）1： $$ \begin{aligned} \text{step 1 }& \begin{cases} \boldsymbol{q}_i^{(h)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_q^{(h)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_q^{(h)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k} \\ \boldsymbol{k}_i^{(h)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_k^{(h)}\in\mathbb{R}^{d_k},\quad \boldsymbol{W}_k^{(h)}\in\mathbb{R}^{d\times d_k}\\ \boldsymbol{v}_i^{(h)} = \boldsymbol{x}_i\boldsymbol{W}_v^{(h)}\in\mathbb{R}^{d_v},\quad \boldsymbol{W}_v^{(h)}\in\mathbb{R}^{d\times d_v} \end{cases} \\ \text{step 2 }& \begin{cases} \boldsymbol{o}_t^{(h)} = \text{Attention}\left(\boldsymbol{q}_t^{(h)}, \boldsymbol{k}_{\leq t}^{(h)}, \boldsymbol{v}_{\leq t}^{(h)}\right)\triangleq\frac{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(h)} \boldsymbol{k}_i^{(h)}{}^{\top}\right)\boldsymbol{v}_i^{(h)}}{\sum_{i\leq t}\exp\left(\boldsymbol{q}_t^{(h)} \boldsymbol{k}_i^{(h)}{}^{\top}\right)} \\ \end{cases} \\ \text{step 3 }& \begin{cases} \boldsymbol{o}_t = \left[\boldsymbol{o}_t^{(1)}, \boldsymbol{o}_t^{(2)}, \cdots, \boldsymbol{o}_t^{(H)}\right] \end{cases} \\ \end{aligned}\\ $$ 这里$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_l$是输入向量，上标$h\in \{1,\ldots,H\}$表示注意力头，$d,d_k,d_v$分别表示输入维度、key维度、value维度。在第一步中，我们将每个token的表征独立地线性投射到不同的自空间上，第二步是标准的点积注意力，第三步是拼接（后续再做一步线性变换）。 我们重点来审视一下第一个步骤，这里由于每个token的表征是独立操作的（类似FFN），因此我们可以将每个token的表征看做一个样本点，这里做的事情就是将一个$d$维度的向量，转化成3个矩阵$\tilde{\boldsymbol{Q}}\in\mathbb{R}^{H\times d_k},\tilde{\boldsymbol{K}}\in\mathbb{R}^{H\times d_k},\tilde{\boldsymbol{V}}\in\mathbb{R}^{H\times d_v}$，每一个头对应这个矩阵中的一行。接着我们逐行计算每行对应的三组向量的点积注意力，就构成了标准的多头注意力。在标准实现中，这个变换是通过参数矩阵的线性变换+ reshape实现的。 ...

上篇文章中，我们从Fisher信息矩阵（FIM）的定义出发，推导出Fisher矩阵与KL散度的关系，并建立如下结论：FIM可以作为概率模型的参数空间的一种黎曼度量。在本篇文章中，我们利用上篇得到的结论，推导自然梯度中为何引入FIM来修正梯度方向，并介绍自然梯度的一些性质。 梯度下降：欧氏距离下的最速下降 考虑一个最优化任务（$f:\Theta\to\mathbb{R}$）： $$ \underset{\theta}{\operatorname{min}} f(\theta) $$ 最常见的一阶优化方法是梯度下降/steepest descent： $$ \theta^+=\theta-\eta\nabla_\theta f $$ 其中$\eta$是学习率。这里的「steepest」指的是在约束欧氏距离定义下的步长在极小范围内时，选取梯度的负方向能最大化一步之内目标函数下降的程度。 $$ \lim_{\epsilon\to 0}\frac{1}{\epsilon}\left(\underset{\delta:\|\delta\|\le \epsilon}{\operatorname{argmin}} f(\theta+\delta)\right)=-\frac{\nabla_\theta f}{\|\nabla_\theta f\|}\tag{1} $$ proof ...